지도의 축척과 도형의 닮음비

수학개념 쏙쏙

오늘은 병선이 아빠가 부산으로 출장을 가시는 날. 텔레비전에서는 오늘의 날씨를 예보하고 있었다.

“오늘 서울의 최고 기온은 12도, 부산의 최고 기온은 24도가 될 것으로 예상됩니다.(기상 캐스터)

연희가, “아빠, 부산이 서울 보다 12도가 높아서 더 따뜻하겠어요.” 라고 하자 병선이가, “말하자면 부산 기온이 서울 기온의 2배인 관계라는 거지.”라고 대답했다.

(병선이의 머릿 속) 12℃(서울 기온) : 24℃(부산 기온)

그러자 연희가 “오빠, 그럼 내일도 부산이 서울 기온의 2배가 돼?”라고 물었다. 병선이는 “야, 그게 말이나 되니?”하고는 황당하다는 표정을 짓고 있는데, 연희가 또다시 물었다. “그럼 내일도 서울이랑 부산이 12도 차이가 나?” 병선이는 코웃음을 치며, “야! 그건 모르는 거지, 날씨가 오락가락 하는데, 오늘 기온이 12도 차이라고 해서 내일도 그러리라는 걸 어떻게 아냐? ”라고 받아쳤다.

그러자 연희는 이번엔 신문 기상예보 코너에 실린 우리나라 지도를 가리키며 아빠에게 물었다. “아빠, 신문에 난 이 지도는 얼마나 작게 만든 거에요?” “글쎄다… 계산해 보지 않아서 모르겠구나.” 부녀간의 대화에 병선이가 끼어들어, “엄청나게, 엄~청나게 축소한 거지. 우리 동네는 이 지도에 아예 보이지도 않잖아.”라고 하였다.

연희는 곰곰 생각하는 듯 잠시 가만히 있다가, “아빠 그러면요, 날씨는 날마다 바뀌어서 기온에는 규칙이 없지만 지도에는 규칙이 있네요.”하였다. “그게 무슨 말이니?” “만약 인공위성에서 우리나라를 가까이 찍으면 우리나라 전체가 크게 보이니까 서울만 크게 보이는 게 아니라, 부산도 크게 보일 거 아녜요? 멀리서 찍으면 다 조그맣게 보이구요. 커지면 다 같이 커지고 작아지면 다 같이 작아지고. 근데, 기온은 안 그렇잖아요.” “허허 녀석….”

지도를 그릴 때는 지역의 크기가 다르더라도 똑같은 비로 축소하여야 한다. 서울의 면적이 부산보다 작으므로 우리나라 땅의 모습을 작게 줄여서 그린 지도에서도 부산은 서울보다 크다. 하지만 기온은 다르다. 오늘 부산 기온이 서울 기온의 2배라고 해서 언제나 그런 것은 아니므로, 오늘의 경우는 특별한 경우일 뿐 항상 1:2의 비가 성립한다고 볼 수는 없다.

다음은 어떨까. 다솜이는 이번 중간고사에서 수학은 25개의 문제 중에서 23개를 맞추었고, 사회는 20개의 문제 중에서 18개를 맞추었다. 다솜이의 정답률은 두 과목이 똑같을까? 문제 수에 대한 정답 수의 비율(정답률)을 구하면 수학은 23/25이고, 사회는 18/20다. 두 과목의 점수도 다르고 정답률도 다르다.

23/25 ≠ 18/20

이번에는 엄마 나이와 다솜이 나이의 비율이 언제나 항상 같은지 알아보자. 올해 엄마가 36세이고 다솜이가 12살이라면 엄마의 나이에 대한 다솜이 나이의 비율은 12/36, 즉 1/3이다. 내년에는 엄마가 37세가 되고 내가 13세가 되므로, 엄마 나이에 대한 내 나이의 비율은 37/13이 된다. 따라서 두 사람의 나이도 다를 뿐더러 나이의 비도 해마다 달라진다. 항상 1/3은 아니라는 것!

12/36 ≠ 13/37

이렇게 때에 따라 비가 달라지는 경우는 비례식이 성립하지 않는다.

이번엔 다음 직사각형 중에서 서로 닮음인 직사각형이 있는지 찾아보자.(축소 또는 확대하면 똑같아지는 도형은 ‘닮았다’라고 한다)

이 직사각형 중에서 대각선이 일치하는 것은 A와 B이다. A를 옆으로 돌려 B에다 겹쳐 놓고 대각선으로 접으면 다음과 같이 대각선이 일치함을 알 수 있다.

따라서 A와 B의 가로와 세로의 길이의 비는 같다.

4 : 3 = 6: 4.5

이렇게 등호를 써서 나타낸 식을 ‘비례식’이라고 한다.

이 두 직사각형의 가로 길이를 가로축에, 세로 길이를 세로축에 쓰고 원점과 이으면, 다음과 같은 그래프가 된다. 이 그래프는 원점을 지나고 중간에 꺾이지 않은 ‘곧은 직선’이다.

이처럼 두 수가 언제나 같은 비율을 유지한다면 ‘정비례 관계가 있다’고 하는데, 6학년 과정에서 배우는 ‘비례식’은 이와 같은 정비례 관계를 다루는 단원이다. 정비례 관계는 중학교 1학년 때 중점적으로 배우게 되며 ‘함수 단원’으로 이어진다.

강미선/<개념잡는 초등 수학사전> 저자